Leçons corrigées pour la fonction exponentielle – soutien en maths


Exercice 1

Créer, où chaque $ x dans R $:

  1. Frac 1- texte e ^ – 2x 1+ texte e ^ – = 2x t e ^ 2x} $ 1
    $ Quad
  2. Texte e ^ – x – texte e ^ – = 2x f x 1} text 2x
    $ Quad
  3. Gauche (texte e ^ x + texte e ^ – x droite) ^ 2-2 = _ ^ 2x $
    $ Quad

Exercice de correction 1

  1. $ Quad
    $ texte 2x -1 droite}} 2x + (texte e ^ 2x + 1 droite) t
    Dfrac texte e ^ 2x -1 texte e ^ 2x +1
    End align $
    $ Quad
  2. $ Quad
    $ = – x correct e ^ – 2x – 1 droite)
    & = dfrac 1 text e ^ 2x à gauche (text e ^ x – 1 à droite)
    Dfrac text e ^ x-1 text 2x
    End align $
    $ Quad
  3. $ Quad
    L'alignement commence
    left (texte e ^ x + texte e ^ – x droite) ^ 2-2 & = texte e ^ 2x + 2 + texte e ^ – 2x – 2
    Texte = e ^ 2x + texte e ^ – 2x
    & = Texte restant (dfrac text e ^ 2x e ^ – 2x + 1 à droite)
    Dfrac text e ^ 4x 1 text e ^ 2x
    End align $

(Effondrement)

$ Quad

Exercice 2

Montrer que la fonction $ f $ a $ R $ avec $ f (x) = dfrac text e ^ x-1 x (1 $ impair
$ Quad

Exercice de correction 2

$ R $ a une fonction impaire si, et si seulement, $ f (-x) = -f (x) $ pour chaque $ x dans R $.

$ x} }}
dfrac 1 text e ^ x -1 dfrac 1 text e ^ x +1
Dfrac f = texte e ^ x _ _ texte
& = dfrac 1 – texte e ^ x 1+ texte e ^ x
& = – dfrac text e ^ x-1 1 + texte e ^ x
& = – f (x)
End align $

Donc, la fonction $ f $ odd est $ R $.

(Effondrement)

$ Quad

Exercice 3

Montrer que: $ dfrac text e ^ 2x -1 1} = dfrac e ^ x- text e x text e ^ x + text e ^ – x $
$ Quad

Exercice de correction 3

L'alignement commence
dfrac text e ^ 2x -1 e ^ 2x +1} & = dfrac {text e ^ x (gauche e ^ x – texte e ^ – x) texte x à gauche (texte e ^ x +) texte e ^ – x)
Dfrac texte e ^ x-) texte e ^ – x texte x + texte e ^ – x
End align $

(Effondrement)

$ Quad

Exercice 4

Dans tous les cas, justifiez que $ $ $ $ $ est variable et que $ de $ est donné à $ R $.

  1. $ f (x) = texte e ^ x + 2x- texte e ^ $ 3
    $ Quad
  2. $ f (x) = 2x text e ^ x $
    $ Quad
  3. $ f (x) = (5x ^ 2-2x) texte e ^ x $
    $ Quad
  4. $ f (x) = gauche (texte e ^ x + 2 droite) gauche (texte e ^ x – texte e droite) $
    $ Quad
  5. $ f (x) = dfrac 2 texte e ^ x-1 x x 3
    $ Quad
  6. $ f (x) = e ^ x ^ 3 + script dfrac 2 5 normaliser x ^ 2-1 $
    $ Quad
  7. $ f (x) = e ^ dfrac x + 1 x ^ 2 + 1 $
    $ Quad

Exercice de correction 4

  1. $ F est la somme des fonctions pouvant être expulsées sur $ R $. C'est aussi différent pour $ R $.
    $ (x) = texte e ^ x + 2 $
    $ Quad
  2. $ $ $ Est un produit qui pourrait être expulsé pour $ R $. C'est aussi différent pour $ R $.
    $ f '(x) = 2 texte e ^ x + 2x texte e ^ x = 2 texte e ^ x (1 + x) $
    $ Quad
  3. $ $ $ Est un produit qui pourrait être expulsé pour $ R $. C'est aussi différent pour $ R $.
    $ (x) = (10x -2) texte e ^ x + (5x ^ 2-2x) texte e ^ x $ $ = texte e ^ x (10x – 2 + 5x $ 2 = 2x) $ $ = texte e ^ x (5x ^ 2 + 8x – 2) $
    $ Quad
  4. $ $ $ Est un produit qui pourrait être expulsé pour $ R $. C'est aussi différent pour $ R $.
    $ f '(x) = texte e ^ x (gauche (texte e ^ x – texte e correct)) + texte e ^ x (gauche e ^ x + 2 right $ $ = text e ^ x left (texte e ^ x- texte e + texte e ^ x + 2 correct) $ $ = texte e ^ x gauche ( 2 texte e ^ x- texte e + 2) correct
    $ Quad
  5. $ F est un composant des fonctions qui pourraient être expulsées pour $ R mais que leur dénominateur n'a pas annulé.
    $ f (x) = dfrac 2 texte e ^ x à gauche (texte e ^ x + 3 à droite) – texte e ^ x (à gauche (2 texte e ^ x – 1 correct) gauche (texte e ^ x +3 droite) ^ 2 $ $ = dfrac {texte e ^ x ( x + 6 – 2 texte e ^ x + 1 droite)} left (texte e ^ x + 3 droite) ^ 2 $ $ = dfrac 7 texte e ^ x gauche (texte e ^ x + 3 droite) ^ 2 $
  6. La fonction $ x mapsto x ^ 3 + dfrac 2 5 x ^ 2-1 $ est une variable sur $ R $ en tant que fonction polynomiale.
    $ $ $ peut être déplacé vers $ R $ car il fonctionne sur $ R $.
    $ start align * f & (39) (x) & = restant (3x + dfrac 2 5 heure 2x droite) e ^ {x ^ 3 + script dfrac 2 5 normaliser x ^ 2 -1
    & = (left (3x + dfrac 4 5 x right)) e ^ x ^ 3 + script dfrac 2 5 normaliser x ^ 2-1
    Fin align * $
    $ Quad
  7. La fonction $ x mapsto dfrac x + 1 x ^ 2 + 1 $ peut être déduite sur $ R $ en tant que quotient de fonctions inviolables n'annulant pas son dénominateur.
    La fonction $ $ $ est $ R $ où les fonctions sont $ R $.
    $ à partir de align (x) & = dfrac x ^ 2 + 1-2x (x + 1) à gauche (x ^ 2 + 1 à droite) ^ 2 dfrac x + 1 x ^ 2 + 1}} t
    & = dfrac x ^ 2 + 1-2x ^ 2 -2x gauche (x ^ 2 + 1 droite) ^ 2 il + + x x ^ 2 + 1}} t
    Frac -x ^ 2-2x + 1 left (x ^ 2 + 1 droite) ^ 2 _ f ^ + 1 x ^ 2 + 1}
    Fin align * $

(Effondrement)

$ Quad

Exercice 5

Dans chaque cas, étudiez les modifications de la fonction $ f $, définie pour $ R $ (ou $ R ^ * $ pour les cas 4 et 5), Qui a reçu une interprétation algébrique.

  1. $ f (x) = x texte e ^ x $
    $ Quad
  2. $ f (x) = (2-x ^ 2) texte e ^ x $
    $ Quad
  3. $ f (x) = dfrac x + texte e ^ x texte e ^ x $
    $ Quad
  4. $ f (x) = dfrac text e ^ x x $
    $ Quad
  5. $ f (x) = dfrac 1 text e ^ x-1 $
    $ Quad

Exercice de correction 5

  1. La fonction $ $ $ est accessible sur $ R $ en tant que produit de fonctions pouvant être expulsées sur $ R $.
    $ f '(x) = texte e ^ x + x texte e ^ x = (x + 1) texte e ^ x $.
    Puisque la fonction exponentielle est complètement positive pour $ R $, $ $ (x) $ ne détecte pas seulement le signe $ x + 1 $.
    Ainsi, la fonction $ f $ est grandement réduite au dessus de $) – infty ;, -1) $ et augmente intensément au dessus de $ (- 1; + infty ($.
    $ Quad
  2. La fonction $ $ $ est accessible sur $ R $ en tant que produit de fonctions pouvant être expulsées sur $ R $.
    ## EQU1 ## $.
    Comme la fonction exponentielle est entièrement positive pour $ R $, $ $ (x) ne se sent pas $ mais sur un signe $ -x ^ 2 – 2x + 2 $.
    La distinction est calculée: $ Delta = (-2) ^ 2 – 4 fois 2 fois (-1) = 12> 0 $.
    Il existe donc deux racines réelles: $ x_1 = dfrac 2 – sqrt 12 – 2 = -1 + SQrt 3 $ et $ x_2 = -1 – sqrt 3 $.
    Puisque $ a = -1 <0 $, la fonction est réduite par rapport à $ left left – infty; -1- sqrt 3 correct) $ et $ left (-1+} = + correct right ($ et augmenter jusqu'à $ gauche (-1- sqrt 3; – 1+ SQR 3 correct) $
    $ Quad
  3. $ R est disponible sous forme de quotient pour les fonctions pouvant être expulsées sur $ R $ à partir duquel le dénominateur est en cours.
    $ f '(x) = dfrac gauche (1 + texte e ^ x droite) texte e ^ x – texte e ^ x (x + texte e ^ (correct) left (texte e ^ x correct) ^ 2 = dfrac texte e ^ x (gauche (1 + texte e ^ x-x – texte e ^ x correct.)} $ $ e ^ 2x $ $ = dfrac (1 – x) texte e ^ x texte e ^ 2x $ $ = dfrac 1 – x texte e ^ x $
    Puisque la fonction exponentielle est complètement positive pour $ R $, le signal de $ $ (x) ne se sent pas seulement entre $ 1 – x $.
    Ainsi, la fonction $ f augmente à $) – infty; 1) $ et décroissant à $ (1; + infty ($.
    $ Quad
  4. $ R * * $ a la fonction $ f * $ $ activée en tant que composant de fonctions pouvant être désactivée pour $ R * * $ qui ne laisse pas son dénominateur sur $ R $ * $.
    $ f '(x) = dfrac x texte e ^ x-texte e ^ x x ^ 2 = dfrac texte e ^ x (x – 1) x ^ 2 $.
    Puisque la fonction est exponentielle et que la fonction $ x mapsto x x $ 2 est totalement positive pour $ R * $, $ $ (x) ne se sent pas $ mais sur le signal $ x – $ 1.
    Ainsi, la fonction $ f $ diminue considérablement plus de $) – vérifiable: 0 ($ et plus de $) 0; 1) $ et augmentant de plus de (1; + infty ($.
    $ Quad
  5. $ R * $ $ a la fonction $ f * $ fonctionnelle en tant que composant de fonctions pouvant être désactivées sur $ R * * $ qui ne laisse pas son dénominateur à $ $ *
    $ f (x) = dfrac – text e ^ x left (texte e ^ x – 1 droite) ^ 2 $.
    La fonction exponentielle est très positive pour $ R $ * $, $ ($) $ $ $ $ $ $ $.
    La fonction $ f $ décroît au dessus de $) – vérifiable: 0 ($ et au dessus de $) 0; + infty ($.

(Effondrement)

$ Quad

Exercice 6

  1. Prouver que nous avons $ 1 + x dans le texte e ^ x $ pour chaque $ x dans $.
    $ Quad
  2. a. Cela reste pour tout entier naturel $ n $ nil, gauche $ (1 + dfrac 1 n droite) ^ n le texte e $.
    $ Quad
    b. Créez également, pour tout élément naturel $ n différent de zéro, il ne reste que $ (1 – dfrac 1 n à droite) n le dfrac 1 text e $.
    $ Quad
  3. Déduire pour tout nombre naturel $ n $ ou 2 $
    left (1 + dfrac 1 n right) ^ n avec le texte e left (1 – dfrac 1 n droite) ^ – n $$
    $ Quad
  4. Prenez $ n = 1 ~ 000 $ et déduisez $ $ $ $ à 10 ^ ^ – – 4 $.
    $ Quad

Exercice de correction 6

  1. Nous estimons la fonction $ f $ a $ R $ à $ f (x) = texte e ^ x – (1 + x) $.
    Cette fonction peut être déplacée pour $ R $ sous la forme d'une somme de fonctions pouvant être expulsées sur $ R $.
    $ x '(x) = texte e ^ x – 1 $.
    La fonction exponentielle augmente considérablement sur $ R $ et $ text e ^ 0 = 1 $.
    Donc $ (x) avec $ $ pour $) – infty; 0) $ et $ f & # 39; (x) • 0 $ pour $ (0; + infty ($.
    Donc, $ f diminue à $) – infty; 0) $ et en augmentant $ (0; + infty ($.
    Ainsi, la courbe représentant la fonction $ f permet un minimum $ $ $ et $ f (0) = 1 – (1 + 0) = 0 $.
    Par conséquent, pour chaque $ x dans $ $, $ f (x) 0 0 et $ 1 + x le texte e ^ x $.
    $ Quad
  2. a. Nous avons mis $ x = dfrac 1 n $. Ensuite, il y a $ 1 + dfrac 1 n le texte e ^ f n} $.
    Et en élevant les deux membres au pouvoir $ n que nous recevons:
    $ $ left (1 + dfrac 1 n right) n le texte e $$
    b. Cette fois, nous avons mis $ x = – dfrac 1 n $. Nous obtenons $ 1 comme ça – dfrac 1 n {{{}} – frac 1 n $.
    En élevant les deux membres au pouvoir de $ n web:
    $ $ left (1 – dfrac 1 n droite) ^ n to text e ^ – 1 $$
    faire
    $ 1 restant (1 – dfrac 1 n droite) ^ n to dfrac 1 text e $$
  3. En conséquence, selon la question, oui 2b, $ text e left (1 – dfrac 1 n right) ^ – n $.
    Donc, en prenant ce déséquilibre et celui trouvé à reprendre la question 2a il y a:
    left (1 + dfrac 1 n right) ^ n avec le texte e left (1 – dfrac 1 n droite) ^ – n $$
  4. Si nous prenons $ n = 1 ~ 000 $ et que nous utilisons le cadre précédent, nous découvrons:
    2 7169 $ le texte e de 2 7197 $

    (Effondrement)

$ Quad

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